为什么要寻找梅森素数

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  2300多年来,人类仅发现49个梅森素数,并且确定2^37156667-1位于梅森素数序列中的第45位。它的研究进展不但是人类智力发展在数学上的一种标志,也是整个科技发展的里程碑之一。

  迄今为止,全球有超过190个国家和地区的近67万人参加了一个名为“互联网梅森素数大搜索”的国际科研合作项目,并动用超过了155万核中央处理器(CPU)联网来寻找梅森素数。可见,梅森素数的寻找非常火爆;这在数学史上是前所未有的,在科学史上也是极为罕见的。

  素数又叫质数,是在大于1的整数中只能被1和其自身整除的数,如2、3、5、7、11等等。2300多年前,古希腊数学家欧几里德就已证明素数有无穷多个,并提出一些素数可写成“2^P-1”(即2的P次方减1,其中指数P也是素数)的形式。由于这种特殊形式的素数具有独特的性质,许多著名数学家(包括费马、欧拉、高斯、图灵等)和无数数学爱好者都对它情有独钟;其中17世纪的法国数学家、法兰西科学院的奠基人马林梅森(Marin Mersenne)在这方面有过重要贡献。为了纪念梅森,数学界就将“2^P-1”型的素数称为“梅森素数”。

  梅森素数貌似简单,但当指数P值较大时,其素性检验的难度就会很大;它的探究不仅需要高深的理论和纯熟的技巧,而且还需要进行艰巨的计算。例如,享有“数学英雄”美誉的瑞士数学家莱昂哈德欧拉1772年在双目失明的情况下,靠心算证明了2^31-1(即2147483647)是第8个梅森素数;该数有10位数,堪称当时世界上已知的最大素数。欧拉的顽强毅力和解题技巧令人赞叹不已;法国大数学家皮埃尔-西蒙拉普拉斯说的话,或许可以代表我们的心声:“读读欧拉,他是我们每一个人的老师。”以前手算时代,人们历尽艰辛,仅发现12个梅森素数。

  电子计算机的出现,大大加快了探究梅森素数的步伐。例如,1952年初,美国数学家拉斐尔鲁宾逊将著名的“卢卡斯-莱默检验法”编译成计算机程序,不到10个月的时间就找到了5个梅森素数:2^521-1、2^607-1、2^1279-1、2^2203-1和2^2281-1。随着指数P值的增大,每一个梅森素数的产生都艰辛无比;而科学家和数学爱好者仍乐此不疲,激烈竞争。

  1979年2月23日,当美国克雷研究公司的计算机专家戴维史洛温斯基和哈利纳尔逊宣布他们找到第26个梅森素数——2^23209-1时,有人告诉他们:在两星期前美国加州的高中生兰登诺尔就已经给出了同样结果。为此他们发愤忘食,又花了一个半月的时间,使用超级计算机找到了更大的梅森素数——2^44497-1。由于史洛温斯基一共发现7个梅森素数,他被人们誉为“素数大王”。

  尤其值得一提的是,人们在寻找梅森素数的同时,对其重要性质——分布规律的研究也一直在进行着。从已发现的梅森素数来看,它们在正整数中的分布时疏时密、极不规则;因此,探究梅森素数的分布规律似乎比寻找新的梅森素数更为困难。虽然英、法、德、美等国的数学家曾提出过有关梅森素数分布的猜测,但都以近似表达式给出,且与实际情况的接近程度均难如人意。中国数学家、语言学家周海中运用联系观察法和不完全归纳法,于1992年率先给出了梅森素数分布的精确表达式。后来这一重要成果被国际上命名为“周氏猜测”。美籍挪威数学家、菲尔茨奖和沃尔夫奖得主阿特勒塞尔伯格认为,周氏猜测具有创新性,开创了富于启发性的新方法;其创新性还表现在揭示新的规律上。

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